磁场

安培环路定律

在本教程的简介里提到过,电机是一种能量转换器,其工作原理是法拉第于 1831 年发现的电磁感应定律。

也就是说,电机是通过磁场来进行能量转换的。要了解电机,必须先了解磁场。要了解磁场,必然先从展现磁场基本特性的四大定律之一 —— 安培环路定律开始。

安培环路定律

通电导线可以在其周围产生磁场。安培环路定律描述了导线中的电流与所产生磁场的磁场强度(H)之间的关系。

amperes-law i i i LH dl

安培环路定律的文字表述如下:

沿着任何一条闭合曲线 L,磁场强度 H 的线积分恰好等于该闭合曲线内所有电流的代数和。

其数学表示方式如下:

\[\begin{equation} \oint_L \Large H \cdot \normalsize dl = \sum i \label{eq1} \end{equation}\]

其中,H 是电流产生的磁场强度(矢量),dl 是积分路径 L (闭合曲线)上的微分单元,i 是电流。

在国际单位制中,磁场强度的单位是安匝数/米,电流的单位是安培 (A)。

假设闭合曲线 L 内的所有电流方向相同、大小相等,磁场强度的方向总是与闭合曲线 L 的切线方向一致,而且大小处处相等,则式 \eqref{eq1} 可以简写为:

\[Hl = Ni\]

其中,H 是磁场强度的大小(标量),N 是闭合曲线 L 内的电流数量。

所以,闭合曲线 L 内的电流产生的磁场强度的大小为:

\[\begin{equation} H = \frac{Ni}{l} \label{eq2} \end{equation}\]

磁通密度

磁通密度 (B),也叫磁感应强度,是描述磁场强弱和方向的物理量。

前面提到的磁场强度 (H) 原本也是用来描述磁场强弱的物理量,表示单位正电磁荷在磁场中所受的力。

“磁荷”是仿照电场中的库仑定律提出的概念,由此发展出来的关于磁场本质的理论称为磁荷观点。后来,磁荷观点被安培提出的分子环流假说后来居上。

因此,现在常用磁通密度来表示磁场的强弱,而磁场强度仅在研究磁介质磁化问题上作为一个辅助物理量来对待。

显然,磁通密度和磁场强度是两个不同的物理量,二者特别容易被混淆。所以,我们用一个小例子来说明一下它们二者之间的关系。

闭合铁芯

上图中是一个矩形铁芯,铁芯的一条边上绕有一个 N 匝线圈。线圈中通有电流 i,铁芯的横截面积为 A,铁芯的平均长度为 lc

假设线圈中的电流产生的磁场全部位于铁芯内,则铁芯中的磁场强度可根据安培环路定律(式 \eqref{eq2})计算如下:

\[\begin{equation} H = \frac{Ni}{l_c} \label{eq3} \end{equation}\]

磁通密度与磁场强度的关系如下:

\[\begin{equation} \Large B \normalsize = \mu \Large H \label{eq4} \end{equation}\]

其中,B 是磁通密度(矢量),μ 是材料(此例中为铁芯)的磁导率,H 是磁场强度(矢量)。

在国际单位制中,磁通密度的单位是韦伯/平方米(也叫做特斯拉,T),磁导率的单位是亨利/米 (H/m)。

将式 \eqref{eq3} 带入式 \eqref{eq4},得:

\[\begin{equation} \begin{split} B &= \mu H \\ &= \frac{\mu Ni}{l_c} \end{split} \label{eq5} \end{equation}\]

其中,B 是磁通密度的大小(标量),H 是磁场强度的大小(标量)。

磁导率

磁导率是描述磁介质材料的导磁能力(或磁化能力)的物理量。

材料的磁导率既可以用绝对磁导率表示,也可以用相对磁导率表示。绝对磁导率就是上文式 (3) 中的 μ —— 磁通密度与磁场强度之比。相对磁导率r) 是材料的绝对磁导率 (μ) 与真空磁导率 (μ0) 之比,即:

\[\begin{align*} \mu_r &= \frac{\mu}{\mu_0} \\ \mu_0 &= 4\pi × 10^{-7} \text{H/m} \end{align*}\]

材料的磁导率越高,其导磁能力越大,在电流大小不变的情况下就可以产生更高的磁通密度,即更强的磁场。

比如,电机中常用铁磁材料的磁导率是空气磁导率的 2000~6000 倍。也就是说,如果线圈中的电流大小不变,它在铁磁材料中产生的磁通密度将会是空气的 2000~6000 倍。

以上文中的矩形铁芯为例,因为铁芯的磁导率远高于四周的空气,载流线圈产生的绝大部分磁通量将被保留在铁芯内部,只有少部分会泄露到空气中。

保留在铁芯内的磁通量称为主磁通,泄露到空气中的磁通量称为漏磁通。漏磁通会增加电动机或变压器的损耗,产生高电压尖峰等很多问题。

磁通量

磁通量是描述磁场分布情况的物理量。其计算公式如下:

\[\phi = \int_A \Large B \cdot \normalsize d \Large A\]

其中,dA 是面积 A 上的微分单元。

如果磁通密度的方向垂直于面积 A,且磁通密度的大小处处相等,那么式 (5) 可以简化为:

\[\phi = BA\]

对于上文中的矩形铁芯,由线圈中的电流 i 产生的磁通量可以计算如下:

\[\begin{equation} \begin{split} \phi &= BA \\ &= \frac{\mu NiA}{l_c} \end{split} \label{eq6} \end{equation}\]

其中,A 是铁芯的横截面积。

参考资料
  1. Stephen J. Chapman. Electric Machinery Fundamentals: fifth edition. Australia: McGraw-Hill, 2012: 8-11.
  2. 汤蕴璆. 电机学: 第五版. 北京: 机械工业出版社, 2014: 7-9.
  3. 赵凯华, 陈熙谋. 电磁学. 北京: 高等教育出版社, 2003: 218-282.