本节通过三道经典例题，由浅入深地逐步介绍磁路理论在直流电机中是如何应用的。
铁芯的四个边宽度不完全相同：右侧边的宽度为 0.1 m，其余三个边的宽度均为 0.15 m。铁芯的厚度为 0.1 m。铁芯的其它尺寸如图所示。
铁芯的左侧边上缠绕着一个 200 匝的线圈。假设铁芯的相对磁导率是 2500，请问每安培输入电流会在铁芯中产生多少磁通量?
由题义可知，铁芯的横截面积不完全相同：右侧边的横截面积相对较小，其他三个边的横截面积相同。因此，铁芯可以被分成两个区域：
该铁芯对应的磁路如下：
右侧边的平均路径长度 (l1) 是 0.45 m，横截面积 (A1) 是 0.01 m2。因此，右侧边的磁阻可计算如下：
\[\begin{align*} R_{m1} &= \frac{l_1}{\mu A_1} \\ &= \frac{l_1}{\mu_r \mu_0 A_1} \\ &= \frac{0.45}{2500 \times (4 \pi \times 10^{-7}) \times 0.01} \\ &= 14324 \text{ (A/Wb)} \end{align*}\]其余三边的平均路径长度 (l2) 是 1.3 m，横截面积 (A2) 是 0.015 m2。因此，这三个边的磁阻可计算如下：
\[\begin{align*} R_{m2} &= \frac{l_2}{\mu A_2} \\ &= \frac{l_2}{\mu_r \mu_0 A_2} \\ &= \frac{1.3}{2500 \times (4 \pi \times 10^{-7}) \times 0.015} \\ &= 27587 \text{ (A/Wb)} \end{align*}\]铁芯的等效磁阻为：
\[\begin{align*} R_{meq} &= R_{m1} + R_{m2} \\ &= 14324 + 27587 \\ &= 41911 \text{ (A/Wb)} \end{align*}\]每安培电流产生的磁动势为：
\[\begin{align*} F_m &= Ni \\ &= 200 \times 1 \\ &= 200 \text{ (A)} \end{align*}\]根据磁路中的欧姆定律，每安培电流在铁芯中产生的磁通量可计算如下：
\[\begin{align*} \phi &= \frac{F_m}{R_{meq}} \\ &= \frac{200}{41911} \\ &= 4.8 \times 10^{-3} \text{ (Wb)} \end{align*}\]铁芯的平均路径长度是 0.4 m。铁芯的右侧边上有一段长度为 5×10-4 m 的气隙 (gas gap)。
铁芯的横截面积是 0.0012 m2，相对磁导率是 4000。铁芯左侧边上的缠绕着一个 400 匝的线圈。
假设磁场在气隙处产生的边缘效应，使气隙的有效横截面积增加了 5%。请问：
该铁芯对应的磁路如下：
根据公式，铁芯的磁阻可计算如下：
\[\begin{align*} R_{mc} &= \frac{l_c}{\mu A_c} \\ &= \frac{l_c}{\mu_r \mu_0 A_c} \\ &= \frac{0.4}{4000 \times (4 \pi \times 10^{-7}) \times 0.0012} \\ &= 66315 \text{ (A/Wb)} \end{align*}\]由于边缘效应，气隙的有效横截面积是铁芯的 1.05 倍。根据公式，气隙的磁阻可计算如下：
\[\begin{align*} R_{ma} &= \frac{l_a}{\mu_0 A_a} \\ &= \frac{5 \times 10^{-4}}{(4 \pi \times 10^{-7}) \times (0.0012 \times 1.05)} \\ &= 315784 \text{ (A/Wb)} \end{align*}\]因此，铁芯的等效磁阻为：
\[\begin{align*} R_{meq} &= R_{mc} + R_{ma} \\ &= 66315 + 315784 \\ &= 382099 \text{ (A/Wb)} \end{align*}\]由于铁芯的磁导率是空气的 4000 倍，虽然气隙的长度仅仅是铁芯的 1/800，但气隙的磁阻却达到铁芯的 5 倍左右。
如果气隙处的磁通密度为 0.5 T，那么磁路中的磁通量可计算如下：
\[\begin{align*} \phi &= BA \\ &= 0.5 \times (0.0012 \times 1.05) \\ &= 6.3 \times 10^{-4} \text{ (Wb)} \end{align*}\]根据磁路中的欧姆定律，载流线圈应产生的磁动势可计算如下：
\[\begin{align*} F_m &= \phi R_{meq} \\ &= 6.3 \times 10^{-4} \times 382099 \\ &= 240.72 \text{ (A)} \end{align*}\]根据公式 (Fm = Ni)，载流线圈中的输入电流应为：
\[\begin{align*} i &= \frac{F_m}{N} \\ &= \frac{240.72}{400} \\ &= 6.02 \times 10^{-2} \text{ (A)} \end{align*}\]图中是直流电机中铁芯（定子和转子）的简化模型。定子的平均路径长度为 0.5 m，横截面积为 0.0012 m2。转子的平均路径长度为 0.05 m，横截面积也假定为 0.0012 m2（与定子相同）。
定子和转子之间存在 5×10-4 m 的气隙，气隙的有效横截面积为 0.0014 m2（已包含边缘效应的影响）。
定子的左侧边上缠绕着一个 200 匝的线圈。铁芯（定子和转子）的相对磁导率是 2000。
如果线圈中的电流为 1 A，请问（定子和转子之间的）气隙中的磁通密度是多少?
因为气隙的横截面积是已知的，要计算气隙中的磁通密度，只要先知道磁通量就好。要知道磁通量，就得先计算磁动势。而磁动势，只需要按照上文中的第一个例题“闭会铁芯”中的方法求解即可。
直流电机中的铁芯对应的磁路如下：
定子的磁阻可计算如下：
\[\begin{align*} R_{ms} &= \frac{l_s}{\mu_r \mu_0 A_s} \\ &= \frac{0.5}{2000 \times (4\pi \times 10^{-7}) \times 0.0012} \\ &= 165786 \text{ (A/Wb)} \end{align*}\]转子的磁阻可计算如下：
\[\begin{align*} R_{mr} &= \frac{l_r}{\mu_r \mu_0 A_r} \\ &= \frac{0.05}{2000 \times (4\pi \times 10^{-7}) \times 0.0012} \\ &= 16579 \text{ (A/Wb)} \end{align*}\]单段气隙的磁阻可计算如下：
\[\begin{align*} R_{ma} &= \frac{l_a}{\mu_0 A_a} \\ &= \frac{5 \times 10^{-4}}{(4\pi \times 10^{-7}) \times 0.0014} \\ &= 284205 \text{ (A/Wb)} \end{align*}\]铁芯的等效磁阻为：
\[\begin{align*} R_{meq} &= R_{ms} + R_{mr} + 2R_{ma} \\ &= 165786 + 16579 + 2 \times 284205 \\ &= 750775 \text{ (A/Wb)} \end{align*}\]载流线圈产生的磁动势可计算如下：
\[\begin{align*} F_m &= Ni \\ &= 200 \times 1 \\ &= 200 \text{ (A)} \end{align*}\]铁芯中的磁通量可以计算如下：
\[\begin{align*} \phi &= \frac{F_m}{R_{meq}} \\ &= \frac{200}{750775} \\ &= 2.66 \times 10^{-4} \text{ (Wb)} \end{align*}\]因此线圈中的电流为 1 A 时，气隙中的磁通密度为：
\[\begin{align*} B &= \frac{\phi}{A} \\ &= \frac{2.66 \times 10^{-4}}{0.0014} \\ &= 0.19 \text{ (T)} \end{align*}\]